【Edisi Pendidikan Rakyat】Matematika SMA, Pilihan Wajib Semester 3 (Versi A): Dasar Perhitungan: Prinsip Penjumlahan Klasifikasi dan Perkalian Langkah

Perhitungan (Counting)intinya adalah 'menghitung (shǔ) semua kemungkinan nomor urut dalam suatu skenario tertentu'. Ini merupakan fondasi matematika kombinatorial, yang bertujuan untuk menguraikan secara logis peristiwa kompleks menjadi bagian-bagian sederhana yang saling eksklusif atau terurut.

Bayangkan Anda ingin memasuki sebuah halaman:
1. Penjumlahan Klasifikasi (Paralel): Di dinding ada $m$ pintu di sebelah kiri dan $n$ pintu di sebelah kanan. Anda hanya perlu memilih satu saja untuk masuk. Jumlah cara: $m+n$.
2. Perkalian Langkah (Serial): Anda harus melewati dua tembok, tembok pertama memiliki $m$ pintu, tembok kedua memiliki $n$ pintu. Anda harus melewati keduanya secara berurutan. Jumlah cara: $m \times n$.

Definisi Inti Prinsip Perhitungan

Prinsip Perhitungan Penjumlahan Klasifikasi: Untuk masalah 'klasifikasi', setiap kategori solusi dapat menyelesaikan tugas secara mandiri. Intinya adalah operasi gabungan himpunan yang tidak tumpang tindih: $N = m_1 + m_2 + \dots + m_n$.

Prinsip Perhitungan Perkalian Langkah：针对“分步”问题，各步骤相互依存，必须完成所有步骤才算完成任务。核心是路径的笛卡尔积：$N = m_1 \times m_2 \times \dots \times m_n$。

Klasifikasi menekankan 'mandiri dan lengkap', sedangkan langkah menekankan 'bergantung dan berkelanjutan'.

Klasifikasi Mandiri $\implies \sum n_i$
Langkah Berurutan $\implies \prod m_i$

PERTANYAAN 1

Sebuah pekerjaan dapat diselesaikan dengan 2 metode. Ada 5 orang yang hanya bisa menggunakan metode pertama, dan 4 orang yang hanya bisa menggunakan metode kedua. Dari mereka dipilih 1 orang untuk menyelesaikan pekerjaan ini, berapa banyak cara berbeda yang mungkin?

PERTANYAAN 2

Jalan dari desa A ke desa B ada 3 rute, jalan dari desa B ke desa C ada 2 rute. Maka dari desa A melalui desa B menuju desa C, berapa banyak rute berbeda yang mungkin?

PERTANYAAN 3

Dalam Contoh 1, jika universitas A memiliki 6 jurusan yang bisa dipilih, dan universitas B memiliki 4 jurusan yang bisa dipilih. Jika menggunakan prinsip penjumlahan klasifikasi menghasilkan jumlah total $6+4=10$, kapan kesimpulan ini akan salah?

Ketika reputasi universitas A lebih besar daripada universitas B

Ketika kedua universitas memiliki jurusan yang sama

Ketika siswa hanya ingin mendaftar satu jurusan

Ketika universitas A memiliki lebih banyak jurusan daripada universitas B

PERTANYAAN 4

Di rak atas tersimpan 6 buku matematika yang berbeda, di rak bawah tersimpan 5 buku bahasa yang berbeda. Dari rak tersebut diambil satu buku matematika dan satu buku bahasa, berapa banyak cara berbeda untuk mengambilnya?

PERTANYAAN 5

Ada 3 siswa kelas X, 5 siswa kelas XI, dan 4 siswa kelas XII. Dari mereka dipilih 1 orang untuk mengikuti kegiatan, berapa banyak cara berbeda untuk memilih?

PERTANYAAN 6

Di antara 1, 2, ..., 500, berapa banyak bilangan yang jika dibagi 5 bersisa 2?

100

101

PERTANYAAN 7

Setelah dikembangkan, hasil kali $(a_1+a_2+\dots+a_m)(b_1+b_2+\dots+b_n)$ memiliki berapa banyak suku?

$m+n$

$m \times n$

$2(m+n)$

$m^n$

PERTANYAAN 8

Nomor telepon terdiri dari 8 digit, 4 digit pertama tetap, 4 digit terakhir adalah angka apa saja dari 0 hingga 9. Berapa banyak nomor telepon berbeda maksimal yang mungkin?

$10 \times 4 = 40$

$10^4 = 10000$

$4^{10}$

$9^4$

PERTANYAAN 9

Berapa banyak diagonal pada segi-12 beraturan?

132

PERTANYAAN 10

Jika suatu himpunan memiliki $n$ elemen, berapa banyak himpunan bagian yang dimiliki oleh himpunan tersebut?

$n^2$

$2n$

$2^n$

$n!$